Wzory skróconego mnożenia

Kolejny ważny i w dodatku ułatwiający życie temat :) czyli wzory skróconego mnożenia. Uwaga! Skupimy się tylko na wzorach "kwadratowych".

Najważniejsze i najczęściej używane wzory:

1. kwadrat sumy:

(a + b)² = a² + 2ab + b² 

2. kwadrat różnicy:

(a - b)² = a² - 2ab + b²

3. różnica kwadratów:

a² - b² = (a + b)(a – b)

Korzystamy jeszcze ze wzorów na sześcian sumy itp., natomiast na poziomie podstawowym niezbędna jest znajomość trzech powyższych wzorów, więc tematykę sześcianów rozszerzymy innym razem.

Wzory skróconego mnożenia przydają się do przekształcania wyrażeń algebraicznych, znajdowania pierwiastków, czy np. rozwiązywania równań. I tak np. znajomość wzoru trzeciego jest niezbędna do usuwania niewymierności z mianowników. 

Przejdźmy teraz do kolejnego zadania z arkusza maturalnego - rozwiązanie równości:

 
Od czego zacząć?

Po pierwsze z lewej strony równania widzimy wzór skróconego mnożenia: (2√2 – a)² Jest to nasz wzór nr 2. 

W związku z tym przejdźmy do rozwiązania równania, gdzie naszym celem jest odnalezienie wartości literki a.

(2√2 – a)² = 17 - 12√2

Zgodnie z powyższym z lewej strony stosujemy wzór skróconego mnożenia, a prawą stronę proponuję przepisać.

8 - 4√2a + a² = 17 - 12√2

Po uporządkowaniu równania (niewiadome na lewą stronę, wiadome na prawą), otrzymujemy:

a²- 4√2a = 9 - 12√2

Od razu można zauważyć, że po obu stronach równania mamy "część wspólną": po lewej stronie jest to literka "a", a po prawej cyfra 3. W związku z tym wyciągamy część wspólną przed nawias. Jeśli komuś na tym etapie pojawiło się pytanie "Dlaczego przed nawias?" lub "Jak to zrobić?" to już tłumaczę :)

Skoro jest jakaś część wspólna to najlepiej się jej pozbyć - będzie łatwiej. Robimy to poprzez dzielenie każdego składnika równania, po danej stronie, przez tą część wspólną, czyli lewą stronę dzielimy przez "a", a prawą przez "3", oczywiście wartość, przez którą dzielimy musi pojawi się przed nawiasem, tak aby po wymnożeniu pojawiła się pierwotna postać równania. 

I w ten sposób wychodzi nam takie równanie:

a(a - 4√2) = 3(3 - 4√2)

Tak naprawdę w przypadku tego zadania nie trzeba dalej liczyć, bo "gołym" okiem widać jaką wartość musi przyjąć literka a, żeby lewa strona była równa prawej. Zaznaczyłam Wam kolorami na co musicie zwrócić uwagę, żeby znaleźć odpowiedź :)

a(a - 4√2) = 3(3 - 4√2)

Poprawna odpowiedź, to a=3, czyli odpowiedź A. Dla sprawdzenia możecie sobie w miejsce literki a wstawić wartość 3 i zweryfikować czy obie strony są sobie równe.

I tu widzicie, że znajomość wzorów skróconego mnożenia jest niezbędna i bardzo często umożliwia obliczenie wartości danego wyrażenia w pamięci.

Oczywiście powinniśmy dokończyć swoje wyliczenia, ale na maturze czas jest na wagę złota, więc w zadaniach zamkniętych trzeba jak najwięcej obliczeń wykonywać w pamięci i starać się sobie jak najbardziej wszystko upraszczać.

Ps. Trzymam kciuki! :)

Więcej

Procenty

Dzisiejszy temat jest bardzo prosty i dotyczy on obliczeń procentów. Z pewnością każdemu przyda się ta wiedza w codziennym życiu, nawet jeśli nie będziecie mieli nic wspólnego z matematyką :)

Tu należy zapamiętać podstawę, na której wszystko się opiera, a dokładniej: procent to setna część, np. 5% z X to nic innego jak 0,05X, tak samo 120% z X to 1,2X (technicznie wystarczy przesunąć przecinek w lewą stronę o dwa miejsca i pominąć %).

A jak wyrazić ułamek w postaci procentu? Wystarczy jeśli pomnożymy go przez 100, np. 0,55X to 55% z X, czyli przesuniemy przecinek o dwa miejsca w prawą stronę.

Jak powyższe ma się do naszego zadania z arkusza maturalnego?

 

Skoro wiemy, że:

b = 0,48a

b = 0,32c

Uwaga! 0,48 i 0,32 wynika z powyższej zasady, że procent to setna część, czyli trzeba procent podzielić przez 100, żeby ominąć ułamek (do wyliczeń niezbędny jest ułamek, nie procent).

Z zadania wynika, że:

0,48a = 0,32c

Dlatego, że obie wartości równają się b.

Naszym zadaniem jest znaleźć wielkość c (chociaż nie ma jasno określonego w poleceniu czego szukamy, to widzimy, że w każdej odpowiedzi pokazują wartość c, więc żeby zaznaczyć poprawną musimy tą wartość wyliczyć).

W związku z tym uznajemy, że naszą niewiadomą w tym równaniu jest wartość c i liczymy:

0,48a = 0,32c

0,48a : 0,32 = c

c = 1,5a

Powyższe zostało wyliczone jak standardowe równanie z jedną niewiadomą, gdzie niewiadoma jest po jednej stronie, a wiadome przeniesione na drugą. Żeby pozostawić z prawej strony równania samo c, należało pozbyć się wartości 0,32 poprzez podzielenie obu stron równania przez tą wartość, co nam pozwoliło uzyskać wynik końcowy równania.

Prawidłową odpowiedzią w tym zadaniu jest odpowiedź A.

Do procentów z pewnością jeszcze wrócimy. Dzisiaj chciałam przypomnieć podstawy tym, którzy muszą podjąć wyzwanie poprawki z matury 2016. Mamy jeszcze całe 15 dni! :)

Uwaga!

Pamiętajcie proszę, że procenty to co innego niż punkty procentowe. Punkt procentowy to różnica pomiędzy jedną a drugą wartością podaną w procentach.

 Dla przykładu: partia A w zeszłym roku miała poparcie w wysokości 30%, a dzisiaj poparcie wzrosło do 45%. To oznacza, że poparcie dla tej partii wzrosło o 15 punktów procentowych, ale można też powiedzieć, że poparcie wzrosło o 50%. Dlaczego?

punkty procentowe: 45% - 30% = 15%

procenty: 15% to połowa pierwszej wartości, dlatego też mówimy, że poparcie wzrosło o 50%.

Na dzisiaj tyle :) Jeśli macie jakieś pytania - piszcie!

Więcej