Poradnik maturzysty - cz.4

Przyszedł czas na kolejną część Poradnika maturzysty. Tak jak wspominałam w zeszłym tygodniu dzisiaj rozwiążemy zadania z pracy domowej. 

Czy wszystkim udało się je samodzielnie rozwiązać? Dajcie znać, czy mieliście takie same wyniki :)

Korzystając z okazji - planuję zrobić pod koniec października taki teścik sprawdzający wiedzę przed maturą. Kto jest chętny na sprawdzenie swoich sił? :)

Zadanie 1.

Dane są liczby m i n. Oblicz wartości wyrażeń:

a) n * m

b) |m - n|

wiedząc, że:

m = 5 - √3  

n = 2√3 + 1
 

Zacznijmy od punktu a.

a) Tak naprawdę widzimy dwa wyrażenia (5 - √3) i (2√3 + 1), które trzeba przez siebie pomnożyć. Zasada jest bardzo prosta, bo gdy mamy dwa "nawiasy", które mamy przez siebie pomnożyć to mnożymy "każdy z każdym", pamiętając jednocześnie o znakach!
Przypominam, że jeśli mnożymy:

+ z + to wynik też jest ze znakiem +

- z - to wynik jest ze znakiem + (dwa minusy dają +)

- z + to wynik jest ze znakiem -

czyli:

n * m = (2√3 + 1) * (5 - √3) = (2√3 * 5) - (2√3 * √3) + (1 * 5) - (1 * √3) 

mamy już pomnożone nawiasy, więc zajmujemy się porządkowaniem działań, zgodnie z kolejnością wykonywania działań:

n * m = (2√3 + 1) * (5 - √3) = (2√3 * 5) - (2√3 * √3) + (1 * 5) - (1 * √3) = 10√3 - 6 + 5 - √3 = 9√3 - 1

b) Tu już jest zadanie prostsze, bo mamy odjąć od wartości m wartość n, ale uwaga! przy odejmowaniu pamiętajcie o zmianie znaku w nawiasie, tzn w wartości n:

|m - n| = |(5 - √3) - (2√3 + 1)| = |5 - √3 - 2√3 - 1| = |4 - 3√3|

Zadanie 2.

Dana jest liczba x. Wyznacz liczbę, której 60% jest równe x. Wynik podaj z dokładnością do 0,01. 

x = (8/5)^-1 + (1/2)³ * [2/3 * 5 – (11/23)⁰]

Uwaga! znak "/" oznacza kreskę ułamkową.

 

W tym zadaniu bardzo ważne jest zrozumienie polecenia. Mamy wyznaczyć liczbę, dla której nasze x to 60% jej wartości. Czyli w pierwszym kroku musimy obliczyć x, więc do dzieła! Wykonujemy działania zgodnie z kolejnością wykonywania działań. Musimy też uważać na potęgi, bo mamy zerową i ujemną potęgę. Kto nie pamięta, co się robi w takich przypadkach zapraszam TUTAJ.

Krok 1.

Pozbywamy się potęg, czyli podnosimy nasze ułamki do potęgi z zadania, plus wymnażamy co się da od razu:

x = (8/5)^-1 + (1/2)³ * [2/3 * 5 – (11/23)⁰] = 5/8 + 1/8 * [10/3 – 1]

Krok 2.

Zajmujemy się nawiasem: 

x = (8/5)^-1 + (1/2)³ * [2/3 * 5 – (11/23)⁰] = 5/8 + 1/8 * [10/3 – 1] = 5/8 + 1/8 * [10/3 – 3/3] = 5/8 + 1/8 * 7/3 

Krok 3.
Zgodnie z kolejnością wykonywania działań - w pierwszej kolejności zajmujemy się mnożeniem:

x = (8/5)^-1 + (1/2)³ * [2/3 * 5 – (11/23)⁰] = 5/8 + 1/8 * [10/3 – 1] = 5/8 + 1/8 * [10/3 – 3/3] = 5/8 + 1/8 * 7/3 = 5/8 + 7/24

Krok 4.
Żeby dodać do siebie ułamki musimy sprowadzić je do wspólnego mianownika i już możemy otrzymać ostateczny wynik:

x = (8/5)^-1 + (1/2)³ * [2/3 * 5 – (11/23)⁰] = 5/8 + 1/8 * [10/3 – 1] = 5/8 + 1/8 * [10/3 – 3/3] = 

= 5/8 + 1/8 * 7/3 = 5/8 + 7/24 = 15/24 + 7/24 = 22/24

Wiemy już ile wynosi 60% szukanej przez nas liczby. Teraz musimy obliczyć tą liczbę, a mamy na to szybki sposób :)

Skoro 22/24 to 60%
to           z     = 100% 
I działanie wykonujemy na "krzyż", tzn.:

z = [(22/24) * 100%] / 60%

Znak procentów nam się skróci i mamy:

z = [(22/24) * 100%] / 60% = [(22/24) * 1] / (6/10)

Skoro dzielenie przez ułamek to pomnożenie przez odwrotność to mamy:

z = [(22/24) * 100%] / 60% = [(22/24) * 1] / (6/10) = (22/24) * (10/6) = 220/144

Ułamki skracamy i wychodzi nam, że szukana przez nas liczba z wynosi:

z = [(22/24) * 100%] / 60% = [(22/24) * 1] / (6/10) = (22/24) * (10/6) = 220/144 = 55/36 = 1 19/36, czyli w przybliżeniu 1,53

Zadanie 3.

Oblicz wartość liczby k, wiedząc, że: 

k = log₂16

Zadanie wymaga znajomości jednego krótkiego wzoru na wyliczenie podstawowego logarytmu, który znajdziecie TUTAJ.
Po podstawieniu naszych liczb do wzoru wiemy, że k = 4. Dlaczego? Bo 4 podniesione do potęgi 2 daje 16. Szczegóły znajdziecie pod powyższym linkiem :)

Zadanie 4.

Cena pewnego towaru wraz z 7-procentową stawką podatku VAT była równa 64,20 zł. Oblicz cenę tego towaru, gdyby stawka podatku VAT była równa 22%.

 

To zadanie wymaga umiejętności rozwiązywania najprostszych równań, znajomości działań na procentach (link TUTAJ) i rozbicia tych dwóch zdań na części :) 

 

Krok 1 - pierwsze zdanie.

Uznajmy, że naszą niewiadomą, czyli ceną towaru jest x. Wiemy, że x powiększone o 7% wynosi 64,20 zł. Musimy obliczyć x, czyli:

 

x + 0,07x = 64,20

1,07x = 64,20 //: 1,07 (obie strony dzielimy przez to co mamy przy x, żeby otrzymać wynik)

x = 60

 

Tyle wynosiła cena towaru bez podatku VAT.

Krok 2 - drugie zdanie.

Skoro mamy już cenę bez żadnego podatku to teraz w podobny sposób obliczymy naszą cenę powiększoną o 22% podatek. Uznajmy, że szukana przez nas cena powiększona o 22% podatek to nasze y.

 

y = 60 + 60 * 0,22 = 60 + 13,2 = 73,20

I mamy rozwiązane zadanie :)