Wyrazy w ciągach
Ciąg jest to funkcja określona na danym zbiorze liczb. Każdy ciąg składa się z wyrazów (a1, a2, a3, ...). Nie jest określone z ilu wyrazów ma się składać ciąg, ale ciągi możemy podzielić na skończone i nieskończone.
Rodzaje ciągów
Ciągi mogą być:
1, 2, 4, 8, 18, 32...
b) malejące - ciąg jest malejący, gdy pierwszy wyraz jest największy, a każdy kolejny mniejszy od poprzedniego. Zachodzi wówczas zależność: an+1 < an
Przykład ciągu malejącego:
3, 2, 1, 0, -1, -2...
c) niemalejące - ciąg jest niemalejący, gdy każdy kolejny wyraz jest większy od poprzedniego lub taki sam jak poprzedni. Zachodzi wówczas zależność: an+1 >= an
Przykład ciągu niemalejącego:
1, 2, 2, 4, 4, 4, 8, 8, 8, 8, 16...
d) nierosnące - ciąg jest nierosnący, gdy każdy kolejny wyraz jest mniejszy od poprzedniego lub taki sam jak poprzedni. Zachodzi wówczas zależność: an+1 <= an
Przykład ciągu nierosnącego:
1, 0, 0, -1, -1, -1...
e) stałe - ciąg jest stały, gdy wszystkie wyrazy ciągu są jednakowe. Zachodzi wówczas zależność: an+1 = an
Przykład ciągu stałego:
2, 2, 2, 2, 2, 2...
f) monotoniczne - ciąg jest monotoniczny, gdy jest niemalejący lub nierosnący.
Przykład ciągu monotonicznego:
3, 4, 4, 5, 6, 6...
g) ciągi naprzemienne - ciąg jest naprzemienny, gdy kolejne wyrazy tego ciągu są naprzemiennie dodatnie i ujemne.
Przykład ciągu naprzemiennego:
-1, 1, -2, 2, -3, 3...
Gdy:
a) rosnące - ciąg jest rosnący, gdy pierwszy wyraz ciągu jest najmniejszy, a każdy kolejny jest większy od poprzedniego. Zachodzi wówczas zależność: an+1 > an
Przykład ciągu rosnącego:1, 2, 4, 8, 18, 32...
b) malejące - ciąg jest malejący, gdy pierwszy wyraz jest największy, a każdy kolejny mniejszy od poprzedniego. Zachodzi wówczas zależność: an+1 < an
Przykład ciągu malejącego:
3, 2, 1, 0, -1, -2...
c) niemalejące - ciąg jest niemalejący, gdy każdy kolejny wyraz jest większy od poprzedniego lub taki sam jak poprzedni. Zachodzi wówczas zależność: an+1 >= an
Przykład ciągu niemalejącego:
1, 2, 2, 4, 4, 4, 8, 8, 8, 8, 16...
d) nierosnące - ciąg jest nierosnący, gdy każdy kolejny wyraz jest mniejszy od poprzedniego lub taki sam jak poprzedni. Zachodzi wówczas zależność: an+1 <= an
Przykład ciągu nierosnącego:
1, 0, 0, -1, -1, -1...
e) stałe - ciąg jest stały, gdy wszystkie wyrazy ciągu są jednakowe. Zachodzi wówczas zależność: an+1 = an
Przykład ciągu stałego:
2, 2, 2, 2, 2, 2...
f) monotoniczne - ciąg jest monotoniczny, gdy jest niemalejący lub nierosnący.
Przykład ciągu monotonicznego:
3, 4, 4, 5, 6, 6...
g) ciągi naprzemienne - ciąg jest naprzemienny, gdy kolejne wyrazy tego ciągu są naprzemiennie dodatnie i ujemne.
Przykład ciągu naprzemiennego:
-1, 1, -2, 2, -3, 3...
Warto wiedzieć, że...
Czynnik (-1)n oznacza, że elementy wyrażenia są raz dodatnie, a raz ujemne, np. -4, 4, -4, 4,...
Gdy:
a) n jest parzyste, to czynnik (-1)n jest równy 1,
b) n jest nieparzyste, to czynnik (-1)n jest równy -1,
c) pierwszym wyrazem jest (n=1), to czynnik (-1)n jest równy -1. Jeśli chcemy by dla pierwszego wyrazu czynnik był równy 1, to musimy zastosować czynnik w postaci -(-1)n lub (-1)n+1.
Brak komentarzy:
Prześlij komentarz