Właściwości ciągów - ćwiczenia

Ostatnio omówiliśmy właściwości ciągów (LINK), a teraz przyszedł czas na przećwiczenie zdobytej wiedzy. W repetytorium "abc maturzysty", znalazłam fajne ćwiczenia, które pomogą uporządkować teorię z ciągów.

Zadanie 1.

W ciągu -1, 2, 3, 4, -5, 6, -6, -3 zmień znak dwóch wyrazów w taki sposób, aby otrzymać ciąg naprzemienny.  

W pierwszym kroku powinniśmy przypomnieć sobie definicję ciągu naprzemiennego, by wiedzieć, że kolejne wyrazy tego ciągu są naprzemiennie dodatnie i ujemne. Wiedząc to, wystarczy spojrzeć na nasz ciąg i już wiemy, że należy trzeci wyraz (3), zamienić na -3 i ostatni wyraz (-3) na 3. Zadanie rozwiązane :)

Zadanie 2.

Oblicz a₁₀ dla ciągu określonego wzorem: a_n = 4n² – n/(3 – n²). 

Uwaga! Dla celów ćwiczeniowych znak "/" oznacza dzielenie i kreskę ułamkową. 

Żeby obliczyć a₁₀ czyli dziesiąty wyraz ciągu wystarczy do podanego wzoru ciągu w miejsce n, czyli wyrazu ciągu, podstawić 10 - szukamy dziesiątego wyrazu. Kolejnym krokiem jest wykonanie działań zgodnie z kolejnością. Przy okazji przypominam o konieczności pamiętania o odpowiednich znakach!

a₁₀ = 4 * 10² – 10/(3 – 10²) = 4 * 100 – 10/(3 – 100) = 400 – 10/(-97) = 400 + 10/97 = 400 10/97

Mamy wynik: dziesiąty wyraz tego ciągu wynosi czterysta całych i dziesięć dziewięćdziesiątych siódmych.

Zadanie 3.

Oblicz trzeci, czwarty i trzydziesty wyraz ciągu określonego wzorem: a_n = (4 - n)/(3 + n).

Zadanie podobne do poprzedniego, ale dobrze jest przećwiczyć sobie wyliczanie wskazanych wyrazów ciągu. Zgodnie z powyższym podstawiamy numer wyliczanego wyrazu w miejsce n i liczymy:

a₃ = (4 – 3)/(3 + 3) = 1/6

a₄ = (4 – 4)/(3+4) = 0/7 = 0

a₃₀ = (4 – 30)/(3 + 30) = -26/33