Poradnik maturzysty cz. 11

Nasz cotygodniowy Poradnik Maturzysty ma już swój 11 odcinek :) Kontynuując zasady jego publikacji, dzisiaj czas na zadania. Przypominam, że teoria, którą będziemy dzisiaj ćwiczyć jest dostępna TUTAJ.

Zadanie 1.

Rozwiąż równanie:
a) x√3 + √3 = √15 
b) 2(x + 3) – 7(3 – 2x) = 4(x – 2)
c) 5(x – 1)² – 2(x + 3)² = 3x(x – 10) + 19 

Powyższe równania rozwiązujemy zgodnie z zasadą: niewiadome po jednej stronie, wiadome po drugiej. Mi wygodniej jest przenosić niewiadome na lewą stronę, a Wy jak wolicie :) Pamiętajcie, że zasada ta obowiązuje tylko przy równaniach pierwszego stopnia. I kolejna bardzo ważna uwaga: przenosząc wartości z jednej strony równania na drugą zmienia się znak stojący przy liczbie lub niewiadomej.

a) Rozwiązując ten przykład trzeba pamiętać o zasadach działań z pierwiastkami. Pierwiastków od siebie nie odejmujemy, więc tu ciężko jest zastosować powyższą zasadę rozwiązywania równań, więc w pierwszej kolejności pozbądźmy się pierwiastka przy x, dzieląc obie strony równania przez √3.

x√3 + √3 = √15 //:√3

x + 1 = √5

x = √5 – 1

 Jak widzicie po podzieleniu obu stron równania możemy zastosować zasadę: niewiadome na jedną stronę, wiadome na drugą. I wiemy już ile wynosi nasz x. Jest to ostateczna postać wyniku.

b) Rozwiązywanie kolejnego przykładu należy rozpocząć od pozbycia się nawiasów poprzez mnożenie liczby stojącej przed nawiasem przez każdą wartość z nawiasu. Pamiętajcie tu o minusach! Następnie trzeba uporządkować wartości i zastosować naszą zasadę:

2(x + 3) – 7(3 – 2x) = 4(x – 2)

2x + 6 – 21 + 14x = 4x – 8

2x + 14x – 4x = -8 – 6 + 21

12x = 7

x = 7/12

c) Rozwiązując trzeci przykład przećwiczymy wzory skróconego mnożenia. Tak więc w pierwszej kolejności wartości w nawiasach rozwijamy zgodnie ze wzorami skróconego mnożenia, następnie pozbywamy się nawiasów mnożąc wartości stojące przed nawiasami przez każdą wartość z nawiasu. Widzimy x podniesione do kwadratu, więc wszystkie wartości przenieśmy na jedną stronę równania, a po drugiej zostawmy tylko 0. Porządkujemy i wyliczamy:

5(x – 1)² – 2(x + 3)² = 3x(x – 10) + 19

5(x² – 2x + 1) -2(x² + 6x + 9) =3x² – 30x + 19

5x² – 10x + 5 – 2x² – 12x – 18 – 3x² + 30x – 19 = 0

8x - 32 = 0

Jak widzicie po porządkach okazuje się, że mamy równanie pierwszego stopnia, więc wracamy do naszej zasady: niewiadome na jedną stronę a wiadome na drugą i mamy ostateczny wynik.

Zadanie 2.

Rozwiąż równanie:

a) (z – 1)(z – 2) = 20

b)

 

c) x(x – 3) = 5(x – 3)

Tym razem mamy do czynienia z równaniami kwadratowymi, więc odsyłam do teorii i przypominam, że należy doprowadzić równanie do takiej formy, gdzie po jednej stronie mamy wszystkie wartości (niewiadome i wiadome), a po drugiej stronie mamy 0. Następnie obliczamy deltę, czyli wyróżnik trójmianu kwadratowego i wyliczamy pierwiastki (rozwiązanie) równania.

a) Zgodnie z powyższą instrukcją rozwiązujemy pierwszy przykład. Pierwszym krokiem jest wymnożenie nawiasów, a dokładniej każdy wyraz z pierwszego nawiasu mnożymy z każdym wyrazem z drugiego nawiasu. Pamiętajcie o minusach!

(z – 1)(z – 2) = 20

z² – 2z – z + 2 = 20

z² – 2z – z + 2 – 20 = 0

z² – 3z – 18 = 0

∆ = 9 – 4 * 1 * (-18) = 9 + 72 = 81

 

 

z є {-3, 6}

b) Ten przykład wykonujemy zgodnie z instrukcją:

c) Rozwiązanie ostatniego przykładu rozpoczynamy od pozbycia się nawiasów, następnie wykonujemy działania zgodnie z instrukcją. Osoby, które są biegłe w rozwiązywaniu zadań w pamięci mogą zauważyć, że jeśli obie strony działania podzielimy przez wartość nawiasu (x-3) to zostanie nam równanie x=5, a to oznacza, że rozwiązaniem naszego równania jest x=3 lub x =5.
My ćwiczymy rozwiązywanie równań, więc rozwiązujemy standardową metodą:
x(x – 3) = 5(x – 3)

x² – 3x = 5x – 15

x² – 3x – 5x + 15 = 0

x² – 8x + 15 = 0

∆ = 64 – 4 * 1 * 15 = 64 – 60 = 4
x є {3, 5}