Jednomiany i wielomiany

O wielomianach wspominałam już w szóstym wydaniu Poradnika maturzysty, które znajdziecie TUTAJ. Dzisiaj rozszerzę temat i omówię najważniejsze zasady.

Dlaczego jest to ważny temat?

Jednomiany i wielomiany są bardzo istotnym tematem. Ich znajomość będziecie wykorzystywać m.in. przy rozwiązywaniu równań i nierówności, a także przy korzystaniu ze wzorów skróconego mnożenia.

Definicje

Jednomian to czynniki podniesione do potęgi i pomnożone przez jakąś liczbę. Najczęściej są to czynniki literowe, np.3xy, 2x³y². Jednomian może też nie zawierać czynników literowych, bo 113 to też jednomian.

Wielomian to suma pewnej liczby wielomianów, np. 2x³ + y.

Jednomiany

Czynniki jednomianów, które są literami mogą być podniesione do różnych potęg, pod warunkiem, że są to potęgi o wykładniku naturalnym lub równym zeru. 

Wykładniki potęg zmiennych w jednomianach nie mogą być ani ujemne, ani ułamkowe. Jeśli zobaczycie wyrażenie algebraiczne z ujemnym lub ułamkowym wykładnikiem potęgi zmiennej to możecie być pewni, że nie jest to jednomian.

Czynniki literowe jednomianów są zmiennymi. Czasem zdarza się, że jest to stała lub parametr już mówię dlaczego :)

Jeśli mamy jednomian 3xy to uznajemy, że zarówno x, jak i y mogą przybierać dowolne wartości rzeczywiste, więc są zmiennymi.

W przypadku jednomianu axy, nadal x i y są zmiennymi, ale a możemy (ale nie musimy :)) uznać za parametr, czyli coś co jest stałe, ale nie jest z góry znane.

Jeśli zobaczycie zapis: W(x) = 3ax, to wiemy, że x jest naszą jedyną zmienną (widzimy to w zapisie W(x)), a litera a jest wielkością stałą lub parametrem.

Najczęściej zmienne są oznaczane literami x, y i z.

Liczba, która stoi przed jednomianem jest współczynnikiem liczbowym tego jednomianu. Każdy jednomian ma współczynnik liczbowy (nawet jeśli nie jest zauważalny :)). Np. xy ma współczynnik 1, bo xy = 1xy. W przeciwieństwie do wykładnika potęgi zmiennej, współczynnik liczbowy może być dowolną liczbą, także ułamkiem lub potęgą o wykładniku wymiernym, np.

2x^-3y² nie jest jednomianem, ale

2^-3y²x to już jest jednomian.

Stopień jednomianu to suma wykładników potęg jego zmiennych, przy czym skoro wykładniki potęg zmiennych są liczbami naturalnymi lub zerem to stopień jednomianu też jest liczbą naturalną lub zerem. A dokładniej - stopień wielomianu 2^-3y²x to 3, dlaczego? Bo zgodnie z definicją stopień jednomianu jest sumą wykładników potęg jego zmiennych, a zmiennymi tego wielomianu są y i x, więc suma ich potęg (czyli 2 + 1) to 3.

Stopień jednomianu 3xy wynosi 2.

Wielomiany

Stopień wielomianu w odróżnieniu do jednomianów jest najwyższą potęgą jednomianów wchodzących w jego skład. A to oznacza, że wielomian 2x³ + y jest trzeciego stopnia, natomiast wielomian 2xy³ + 3x²y³ + x jest piątego stopnia. Dlaczego? Bo najwyższy stopień, w drugim przypadku, ma jednomian 3x²y³ (jest piątego stopnia). Zanim ustalimy stopień wielomianu najlepiej jest uporządkować wszystkie wyrażenia, które są składnikami danego wielomianu.

Wielomian stopnia n, jednej zmiennej rzeczywistej x, jest funkcją określoną wzorem:

W(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + … + a₂x² + a₁x + a₀  

Liczby a są współczynnikami liczbowymi wielomianu.

Wielomian stopnia zerowego jest wtedy, gdy n=0 i a_n jest różne od zera. Nie jest on równy z wielomianem zerowym. Wielomian zerowy nie ma określonego stopnia i zarówno n, jak i a₀ są równe zero.

Wielomian stopnia zerowego to np. W(x) = 3, a wielomian zerowy to np. W(x) = 0.