Właściwości logrytmów

Zazwyczaj w arkuszach maturalnych pojawia się przynajmniej jedno zadanie, które sprawdza znajomość właściwości, bądź definicji logarytmów. Tak też było w tym roku. Zadanie bardzo proste i nie wymagające większego liczenia :)

Kto wie jaka jest prawidłowa odpowiedź?

Oczywiście prawidłowa jest odpowiedź D i już wyjaśniam dlaczego.

Z definicji logarytmów wynika, że logarytm o podstawie a z liczby b oznacza liczbę c, a to oznacza, że liczba c to nic innego jak potęga, do której musi być podniesiona liczba a, żeby dać liczbę b. Tak jak w poniższym wzorze.

 

Jak powyższą definicję wykorzystać do naszego zadania?

Przypiszmy wartości z naszego zadania do literek ze wzoru:

a =√2

b = 2√2

c = ?

Tak więc zadajemy sobie pytanie do jakiej potęgi musimy podnieść √2 aby otrzymać 2√2?

Wiemy, że √2 podniesiony do potęgi drugiej daje nam 2, więc to jeszcze za mało. Sprawdzamy dalej √2*√2*√2 = 2√2 - prawidłowa odpowiedź to 3.√2 musimy podnieść do potęgi trzeciej żeby otrzymać 2√2.

Wiem już jak obliczyć literkę c (zastanawiamy się do jakiej potęgi trzeba podnieść podstawę logarytmu, czyli literkę a, żeby otrzymać b). 

Wiemy jak obliczyć b (korzystamy ze wzoru z definicji, czyli podstawę logarytmu a, podnosimy do potęgi jaką jest wartość logarytmu c).

A co by było jakby naszą niewiadomą była podstawa logarytmu, czyli literka a? Wykonujemy pierwiastkowanie liczby b, stopnia c, zgodnie ze wzorem.

 

Pamiętajcie, że logarytm z dowolnej liczby można znaleźć w tablicach lub obliczyć na kalkulatorze, ale jeśli jest to nieduża liczba naturalna to działania wykonujemy w pamięci.

Teraz przejdźmy do tematu naszego postu, czyli właściwości logarytmów.

1. jeśli nie jest podana podstawa logarytmu, to znaczy, że mamy do czynienia z logarytmem o podstawie 10, np. logx, tzn. że mówimy o log₁₀x.

2. nie wyciągamy logarytmów z liczb ujemnych, ani z zera.

3. log1 = 0 jest to zasada do zapamiętania - zawsze logarytm z 1 równa się 0.
4. Logarytm może być dowolną liczbą (zero/liczba dodatnia/liczba ujemna).

Trzy najważniejsze właściwości logarytmów opisują poniższe wzory:
 
Po pierwsze: tak jak pokazuje to pierwszy wzór - logarytm iloczynu równy jest sumie logarytmów.
Po drugie: analogicznie jak przy pierwszym wzorze - logarytm ilorazów równy jest różnicy logarytmów. 
Po trzecie: i tu patrzymy na trzeci wzór, bardzo ważny - logarytm potęgi to jej wykładnik pomnożony przez logarytm podstawy, a dokładniej: liczba z potęgi przy logarytmie wędruje na początek logarytmu i przez tą liczbę mnożymy logarytm, np.

logx² = 2logx

Warto pamiętać o tym, że nie ma żadnych wzorów na logarytm sumy, ani logarytm różnicy.

Pytania? Uwagi? Propozycje tematów? Pisz śmiało :)

Znasz zasady działań na potęgach? TUTAJ znajdziesz niezbędne informacje. 
 

Działania na potęgach

Dzisiejszy temat jest bardzo prosty i przyda się nie tylko maturzystom. Skupimy się na tematyce z pierwszego zadania tegorocznej matury (maj 2016). I chociaż temat prosty to w stresie potrafi sprawić problem, dlatego warto powtórzyć kilka najważniejszych zasad z działań na potęgach.

Poniżej treść zadania:

 

A jak się zabrać za jego rozwiązanie?

Odpowiedź jest prosta. Należy skorzystać z jednej z podstawowych zasad działań na potęgach - jeśli chcemy podzielić potęgi o jednakowej podstawie, należy odjąć od siebie wykładniki.

A dokładniej: naszym wykładnikiem jest liczba -2,6 i 1,3, a naszą podstawą w tym zadaniu jest jakaś nieznana nam liczba a - znajomość tej liczby nie jest nam tu potrzebna :), bo skupiamy się na całym wyrażeniu i postępujemy zgodnie ze wspomnianą wyżej zasadą, czyli:

 

Prawidłowa odpowiedź w tym zadaniu, to odpowiedź A.

Zadanie mamy rozwiązane, ale wracając do pierwszych zdań tego posta, mieliśmy przypomnieć sobie najważniejsze zasady z działań na potęgach - tak, tak jest ich kilka :) Do tego niezbędny będzie poniższy obrazek - będziemy omawiać każdą zasadę (wzór) po kolei.

Wzór pierwszy:

Jeśli chcemy pomnożyć potęgi o takiej samej podstawie (a), musimy dodać do siebie wykładniki.

Wzór drugi:

Jest to dokładnie ten sam wzór, z którego korzystaliśmy w zadaniu pierwszym, czyli jeśli chcemy podzielić potęgi o jednakowej podstawie, musimy odjąć od siebie wykładniki (dla jasności - od wykładnika z licznika odejmujemy wykładnik z mianownika).

Wzór trzeci:

Tu mamy przypadek, gdzie są różne podstawy i niestety dotyczy się to też każdego innego działania (mnożenia/dzielenia) przy potęgach z różnymi podstawami - zazwyczaj nie da się zastosować żadnego uproszczenia. Ale warto wiedzieć, jak postąpić w takim przypadku :)

Można tu zastosować jedno z dwóch rozwiązań, w zależności od upodobań, np.:

(2 * 3)² = 2² * 3² = 4 * 9 = 36

(2 * 3)² = 6² = 36

 Dwa różne sposoby = taki sam wynik, czyli potęga iloczynu jest równa iloczynowi potęg. 

Wzór czwarty:

Sytuacja analogiczna do powyższej - potęga ilorazu to iloraz potęg.
 

Wzór piąty:

Moim zdaniem bardzo przydatny, bo często pojawia się w różnych zadaniach. W tym przypadku wystarczy pomnożyć wykładniki, ale istotny jest tutaj nawias.
 

Wzór szósty:

Jeśli mamy sytuację, gdy wykładnik potęgi jest ujemny, wystarczy, że odwrócimy ułamek do góry nogami.

I to byłoby tyle najważniejszych zasad z działań na potęgach. Wspomnę Wam jeszcze o najczęściej popełnianych błędach, które niestety skutkują błędnym wynikiem i utratą punktów...

Po pierwsze... jeśli na pierwszy rzut oka nie da się uprościć wyrażenia z potęgami, nie upraszczaj ich na siłę, nie wymyślaj dziwnych wzorów, nie przekształcaj tylko oblicz. I pamiętaj o wzorach skróconego mnożenia :)

Po drugie... jeśli spotkasz się z ujemnym wykładnikiem potęgi, sprawdź, czy nie da się przenieść tego czynnika z licznika do mianownika, lub z mianownika do licznika - to znacznie uprości obliczenia, np. 

 

Pytania? Uwagi? Piszcie :)

Potrzebujesz informacji o właściwościach logarytmów? Sprawdź TUTAJ
 

Kilka słów wstępu

Cześć!

Na początku kilka słów wstępu zanim pojawi się pierwszy post merytoryczny :)