Przed maturą

Cześć wszystkim!

Dzisiejszy post będzie zupełnie inny i dużo krótszy :) Wszystkim, którzy podchodzą do jutrzejszej matury poprawkowej z matematyki życzymy powodzenia i trzymamy za Was kciuki! :)

Czas na odpoczynek i skupienie.

Wakacje powoli dobiegają końca i od września ruszamy z nową porcją materiału.

Udanego odpoczynku! :)

Rozwiązywanie nierówności

Dzisiaj rozwiążemy kolejne zadanie z zestawu maturalnego. Jest to zadanie piąte:

Na pierwszy rzut oka nierówność przeraża. Mamy niewiadomą podniesioną do potęgi trzeciej, a nawet piątej i próbujemy sobie przypomnieć, co się robi w takim przypadku :) I to jest bardzo dobry przykład na to, jak próbując sobie przypomnieć zdobytą wiedzę tracimy cenny czas, a w efekcie źle rozwiązujemy zadanie... Jak do tego zadania podejść żeby zaoszczędzić czas?

Zobaczcie, że w podpowiedziach mamy bardzo małe liczby, więc śmiało możemy sobie podstawić je w miejsce x, czyli naszej niewiadomej i sprawdzić czy lewa strona nierówności będzie mniejsza od prawej.

Sprawdźmy:

A. -1 + 1 -1 < -2, jest to sprzeczność, bo -1 jest większe od -2

B. 1 - 1 + 1 < -2, to również jest sprzecznością, bo 1 jest większe od -2

C. -32 + 8 - 2 < -2, tutaj mamy prawidłową nierówność, bo -26 jest mniejsze od -2.

I mamy już odpowiedź, na nasze zadanie. Prawidłowa odpowiedź to C.

Oczywiście można rozwiązać to zadanie rozwiązując nierówność poprzez wyznaczenie miejsc zerowych, zaznaczenie ich na osi liczbowej i odczytanie przedziałów, w których znajduje się rozwiązanie zadania, a następnie sprawdzić, czy któraś ze wskazanych podpowiedzi znajduje się we wskazanym przedziale. Ale sami przyznacie, że jest to dużo dłuższe rozwiązanie :)

O rozwiązywaniu nierówności będzie oddzielny temat - teraz skupiamy się na zadaniach maturalnych. Jeśli pojawią się jakieś pytania to piszcie :)

Wzory skróconego mnożenia

Kolejny ważny i w dodatku ułatwiający życie temat :) czyli wzory skróconego mnożenia. Uwaga! Skupimy się tylko na wzorach "kwadratowych".

Najważniejsze i najczęściej używane wzory:

1. kwadrat sumy:

(a + b)² = a² + 2ab + b² 

2. kwadrat różnicy:

(a - b)² = a² - 2ab + b²

3. różnica kwadratów:

a² - b² = (a + b)(a – b)

Korzystamy jeszcze ze wzorów na sześcian sumy itp., natomiast na poziomie podstawowym niezbędna jest znajomość trzech powyższych wzorów, więc tematykę sześcianów rozszerzymy innym razem.

Wzory skróconego mnożenia przydają się do przekształcania wyrażeń algebraicznych, znajdowania pierwiastków, czy np. rozwiązywania równań. I tak np. znajomość wzoru trzeciego jest niezbędna do usuwania niewymierności z mianowników. 

Przejdźmy teraz do kolejnego zadania z arkusza maturalnego - rozwiązanie równości:

 
Od czego zacząć?

Po pierwsze z lewej strony równania widzimy wzór skróconego mnożenia: (2√2 – a)² Jest to nasz wzór nr 2. 

W związku z tym przejdźmy do rozwiązania równania, gdzie naszym celem jest odnalezienie wartości literki a.

(2√2 – a)² = 17 - 12√2

Zgodnie z powyższym z lewej strony stosujemy wzór skróconego mnożenia, a prawą stronę proponuję przepisać.

8 - 4√2a + a² = 17 - 12√2

Po uporządkowaniu równania (niewiadome na lewą stronę, wiadome na prawą), otrzymujemy:

a²- 4√2a = 9 - 12√2

Od razu można zauważyć, że po obu stronach równania mamy "część wspólną": po lewej stronie jest to literka "a", a po prawej cyfra 3. W związku z tym wyciągamy część wspólną przed nawias. Jeśli komuś na tym etapie pojawiło się pytanie "Dlaczego przed nawias?" lub "Jak to zrobić?" to już tłumaczę :)

Skoro jest jakaś część wspólna to najlepiej się jej pozbyć - będzie łatwiej. Robimy to poprzez dzielenie każdego składnika równania, po danej stronie, przez tą część wspólną, czyli lewą stronę dzielimy przez "a", a prawą przez "3", oczywiście wartość, przez którą dzielimy musi pojawi się przed nawiasem, tak aby po wymnożeniu pojawiła się pierwotna postać równania. 

I w ten sposób wychodzi nam takie równanie:

a(a - 4√2) = 3(3 - 4√2)

Tak naprawdę w przypadku tego zadania nie trzeba dalej liczyć, bo "gołym" okiem widać jaką wartość musi przyjąć literka a, żeby lewa strona była równa prawej. Zaznaczyłam Wam kolorami na co musicie zwrócić uwagę, żeby znaleźć odpowiedź :)

a(a - 4√2) = 3(3 - 4√2)

Poprawna odpowiedź, to a=3, czyli odpowiedź A. Dla sprawdzenia możecie sobie w miejsce literki a wstawić wartość 3 i zweryfikować czy obie strony są sobie równe.

I tu widzicie, że znajomość wzorów skróconego mnożenia jest niezbędna i bardzo często umożliwia obliczenie wartości danego wyrażenia w pamięci.

Oczywiście powinniśmy dokończyć swoje wyliczenia, ale na maturze czas jest na wagę złota, więc w zadaniach zamkniętych trzeba jak najwięcej obliczeń wykonywać w pamięci i starać się sobie jak najbardziej wszystko upraszczać.

Ps. Trzymam kciuki! :)